L'algèbre, un peu de pratique

Le principal apport des mathématiciens arabes a été de développer l'algèbre voire même de le créer selon certains historiens. Vers 830, al-Khwarizmi, personnage présenté plus tôt, indique dans sa préface le but de son principal ouvrage (cf. La naissance des maths). Soit un but avant tout pédagogique mais aussi celui d'exposer différentes méthodes servant à résoudre des problèmes concrets. Voici la traduction de la partie la plus importante de cette préface: "J’ai rédigé, dans le domaine du calcul par la restauration, un abrégé englobant les plus fines et les plus nobles opérations du calcul dont les hommes ont besoin pour la répartition de leurs héritages et de leurs donations, pour leurs partages et pour leurs jugements, pour leurs transactions commerciales et pour toutes les opérations qu’ils ont entre eux, relatives à l’arpentage, à la répartition des eaux de rivière, à l’architecture ainsi qu’à d’autres aspects. (...) " (Traduction d'Ahmed Djebbar)

Voici le plan de cet ouvrage (en 3 tomes): (pour comprendre l'étendue des connaissances de ce personnage, et pour cela, nous nous concentrerons sur cet auteur)

Tome I : Théorie des équations
1. Rappels sur le système de numération positionnelle décimale, définition des
ob jets fondamentaux de la théorie, les six équations canoniques.
2. Procédures pour résoudre chacune des six équations, avec leurs justifications
géométriques.
3. Comment algébriser un problème et se ramener à une des six équations ca-
noniques grâce aux opérations de restauration et de comparaison.
4. Comment étendre les opérations arithmétiques aux objets de l’algèbre.
5. Exercices.
Tome II : Mesures géométriques
Tome III : Applications

Dans le premier tome de son ouvrage, al-Khwarizmi explique comment il faut mettre un problème en équation et comment résoudre une équation.

La suite de la préface dit :
"J’ai découvert que les nombres dont on a besoin dans le calcul par la restauration et la comparaison sont de trois types : ce sont les racines, les carrés et le nombre
seul, non rapporté à une racine ni à un carré. Parmi eux, la racine est toute chose — parmi un, les nombres qui lui sont supérieurs et les fractions qui lui sont
inférieures — qui est multipliée par elle-même. Le carré est tout ce qui résulte de la racine multipliée par elle-même. Le nombre seul est tout ce qui est exprimé
comme nombre sans rapport à une racine ni à un carré. "

Donc, on comprend que les seuls choses qui peuvent être utilisé dans une équation sont: les nombres (dirham selon Khawarizmi), la racine qui en fait correspond à notre inconnu x (say en arabe) et le carré soit (en arabe mâl).

Al Khwarizmi distingue six types d'équations de degré inferieur ou égal à 2 car, pour lui, les coefficients d’une équation sont toujours positifs :

Voici à quoi elles correspondent:

  •  ax²=bx
  •  ax² =c
  •  x² +bx=c
  •  x² +c=bx
  • bx+c=x²

 La sixième équation est du premier degré sous la forme: ax=c

Al- Khawarizmi a en fait developpé plusieurs méthodes pour résoudre ces types d'équation; la première est la méthode algébrique et le deuxième la méthode géométriqueMais, à son époque, l’usage des lettres était inconnu et ceci est dit en phrases ; pour expliquer une méthode de résolution, il l’explicite sur un ou des exemples numériques.

Etudions la méthode algébrique:

Prenons l'exemple suivant,

De quel type est l’équation x +(10−x) =58 ?

L’équation x+(10−x)=58 devient  2x² +100−20x=58.
Par gabr (consiste à se "débarasser" des nombres négatifs), on a alors 2x²+100=58+20x.
Par muqabala (opération de réduction des termes semblables de l’équation), on a ensuite 2x² +42=20x.
On obtient enfin, par division par 2, l’équation x²+21=10x.

Cette équation est du type 4.
(exemple inspiré des travaux de Norredine Mohhamad)

La méthode algébrique d'al-Khwarizmi pour résoudre ce genre d'équations consistait justement à appliquer successivement les opérations al-gabr et al-muqabala.

Maintenant étudions la méthode géométrique de résolution d'équation qui est plus complexe que la précédente:

Pour résoudre par exemple l'équation x2 + 10 x = 39  Al-Khawarizmi écrit:

(Pour l'auteur, une unité = un nombre, une racine = un x, et un carré =un x²)

" ... un carré et 10 racines sont égaux à 39 unités." (x²+10x=39, ici l'équation est sous la forme vue ci dessus x²+bx=c)

"La question par conséquent est dans ce type d'équation environ comme suit: Qui est le carré qui est combiné avec dix de ses racines donnera une somme totale de 39? " ( A quoi équivaut x dans cette équation?)

"La manière de résoudre ce type d'équation est prendre une moitié des racines juste mentionnées." (Pour résoudre cette équation, il faut diviser les x par 2)

"Maintenant les racines dans le problème d'avant sont 10." ( Divisons donc les x par 2)

"Prenez par conséquent 5, qui multiplié par lui-même donne 25, un résultat que vous en ajoutez à 39 donne 64. Avoir pris sa racine carrée qui est 8, retrancher du résultat la moitié de la racine, 5 ce qui reste 3. Le nombre trois représente par conséquent une racine de ce carré, est qui lui-même, bien sûr 9. Neuf donne par conséquent le carré. "

                  

Explication détaillée de la méthode géométrique de résolution d'équation d'Al Khawarizmi:

Il a proposé dans son traité la résolution géométrique de l'équation suivante : x² + 10 x = 39, à savoir chercher la valeur positive de x pour laquelle x² +10x = 39.

1. Tracer un carré de côté x. Son aire est égale à x². (voir figure ci dessous)

2. Puis Al-Khawarizmi ajoute 4 rectangles identiques de dimensions x et 5/2. L'expression ordonnée de l'aire totale est donc x²+10x (voir figure ci dessous)

3. Puis Al-Khawarizmi ajoute 4 carrés identiques de côté 5/2, donc l'aire jaune vaut 25.

4. Maintenant, en considérant l'aire du grand carré, Al Khawarizmi détermine la valeur positive de x pour laquelle x² + 10x = 39.

L'aire d'un carré se calcule en calculant: longueur * largeur

or, Longueur= Largeur= x + 2*5/2

        Aire Grand Carré= (x+ 2*5/2)*2

                                           = 2x+4/5

                                          - 2x  =  4/5

                                           x= 4/5/-2

 

                 

    (Bien évidemment il ya eu bien d'autres découvertes en algèbre mais c'est celle ci a le plus attiré notre attention car elle fait partie de notre programme de mathématiques)

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